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title: "Zentrale Grenzwertsatz"
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output: html_notebook
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# Zentrale Grenzwertsatz
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Für jedes $n=1,2,\ldots$ seien die Zufallsvariablen $X_1, X_2, \ldots, X_n$ unabhängig und besitzen die gleiche Verteilung mit dem Erwartungswert $\mu = E(X_i)$ und der Varianz $\sigma^2=Var(X_i)$. Dann gilt für die Verteilungsfunktion der standardisierten Summen $G_n = \frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}$:
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$$
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\lim_{n\rightarrow\infty}P\left(G_n \leq x\right)=\Phi(x)
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$$
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Dabei ist $\Phi$ die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung $N(0,1)$.
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Überprüfen Sie mit R den zentralen Grenzwertsatz.
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## Verteilung
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Erzeugen Sie einen Data Frame, der die gezogenen Zufallszahlen $G_n$ enthält. Die Stichprobe soll einen Umfang von 50000 haben (Anzahl Zeilen der Tabelle). Der Data Frame hat sechs Spalten, die die Werte für die Zahlen $n=1, 2, 3, 10, 100, 1000$ enthalten. Geben Sie die ersten 10 Zeilen des Data Frames aus.
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Welche Verteilung Sie für $X_i$ nehmen, bleibt Ihnen überlassen. Es soll nur keine Normalverteilung sein.
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```{r}
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# Ihre Lösung:
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## Plot
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Plotten Sie sechs Histogramme, die je für $n=1, 2, 3, 10, 100, 1000$ die Verteilung im Vergleich zu einer ($0,1$)-Normalverteilung zeigen. Die Intervallbreite soll 0,25 sein.
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Tipp: Platzieren Sie die sechs Plots auf einem $3 \times 2$-Gitter.
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```{r}
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# Ihre Lösung:
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## Abweichung
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Nun soll die Abweichung der Standardisierten $G$ von der Normalverteilung für alle $n$ quantifiziert werden. Hierzu soll für alle Balken (bins) der Histogramme aus der vorigen Aufgabe die Differenz von $G$ zur Normalverteilung gebildet und quadriert werden. Diese Werte werden aufaddiert und durch die Anzahl der Intervalle geteilt. Daraus wird die Wurzel gezogen.
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Sie können sich auch ein anderes Maß zur Bestimmung der Abweichung überlegen.
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Geben Sie die Abweichungen aus. Stimmt es, dass die Abweichungen mit größerem $n$ kleiner werden?
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Tipp: `hist(plot = FALSE)` erzeugt ein Histogramm, ohne es zu plotten. Gerne können Sie auch Ihr eigenes Histogramm nutzen.
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```{r}
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# Ihre Lösung:
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